Առաջադրանք 6

Առաջադրանք 5

Ընտրեք ֆունկցիա: Կոորդինակային հարթության վրա նշեք այդ ֆունկցիայի գրաֆիկին պատկանող տասը կետ: Գծեք ֆունկցիայի գրաֆիկը:
f(x)=x^-9

f(-4)=7
f(-2)=-5
f(-1)=-8
f(0)=-9
f(1)=-8
f(2)=-5
f(3)=0
f(4)=7
f(5)=21
f(6)=27

ֆունկցիայի գրաֆիկ

Ֆունկցիայի գրաֆիկ, ֆունկցիոնալ կախվածության երկրաչափական պատկեր հարթության  վրա։ f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը հարթության այն կետերի բազմությունն Է, որոնց կորդինատները բավարարում են y = f(x) հավասարմանը։ Հարթության վրա կոորդինատական համակարգի ընտրությունից կախված, ֆունկցիան կարող է ունենալ տարբեր գրաֆիկներ։

Իրական թվեր

Իրական թիվը անընդհատ ուղղի վրա ներկայացվող արժեք է։ Իրական թվերն են ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը:
Ռացիոնալ թվերը` դրանք m/n տեսքի թվերն են, որտեղ m € Z իսկ n € N…
Ռացիոնալ թվերը ներկայցվում են սովորական կոտորակի՝ m/n տեսքով, որտեղ համարիչը ամբողջ թիվ է, իսկ հայտարարը՝ բնական թիվ, օրինակ՝1/4։ Կոտորակի հասկացությունը առաջացել է մի քանի հազարամյակ առաջ,  իրերի երկարության, զանգվածի, մակերեսի չափման համար։ Մարդիկ հասկացան, որ միայն ամբողջ թվերը բավարար չեն և անհրաժեշտ է մասի հասկացություն՝ կեսի, երրորդի և այլն։
Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակվում է Q տառով(լատիներեն՝ Quotient-քանորդ բառից:
Իռացիոնալ թիվը իրական թիվ է, որը ռացիոնալ չէ, այսինքն, այն հնարավոր չէ ներկայացնել m/n կոտորոկի տեսքով, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ։ Իռացիոնալ թիվը կարող է ներկայացվել անվերջ, ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով։ Իռացիոնալ թվեր են նաև արմատով թվերը՝Օր. √15, √2։
Իռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են լատինական I մեծատառով։
Իռացիոնալ թվերի հատկություններից են օրինակ՝
Միայն իռացիոնալ թվերը կարող են ներկայացվել անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով,
 իռացիոնալ թվերի բազմությունը թվային առանցքի վրա միշտ խիտ է, այսինքն,ցանկացած երկու թվերի միջև գոյություն ունի իռացիոնալ թիվ,
իռացիոնալ թվերի բազմությունը անհաշվելի է:
Իրական թվերը կարելի է պատկերել որպես անվերջ երկար ուղիղ ՝ թվային ուղիղ կամ իրական ուղիղի կետեր, որտեղ ամբողջ թվերին համապատասխան թվերը ինտերվալներ են։
Յուրաքանչյուր իրական թիվ կարող է որոշվել հնարավոր անվերջ տասնորդական ներկայացմամբ, որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ թվանշանը չափվում է նախորդից մեկ տասնորդականով տարբերվող միավորներով։
 Իրական թվերի բազմությունը նշանակում են R տառով:Դրական տասնորդական կոտորակները, հատվածների երկարությունները բացասական տասնորդական կոտորակները և զրոն կազմում են իրական թվերի բազմությունը: Օր. 0, 18,25 և -25,31 :
Իրական, բայց ոչ ռացիոնալ թվերը կոչվում են իռացիոնալ թվեր: Օր. 0,101001000 և այլն:
Թվային ուղղի Aկետին համապատասխանող a թիվը երբեմն անվանում են A թվի կորդինատ :Այն բաղկացած է թվային առանցքի այն կետերից, որոնց հեռավորությունը a-ից փոքր (3)-ից: Օր. a=5 թվի 2-շրջակայքը (3=2) կլինի (3;7) միջակայքը:Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միասին կազմում են իրական թվերի բազմություն:
Իրական թվերը կարելի է պատկերել որպես անվերջ երկար ուղիղ` թվային ուղիղ կամ իրական ուղղի կետեր, որտեղ ամբողջ թվերին համապատասխան թվերը ինտերվալներ են:
Մաթեմատիկայում, իրական թիվը անընդհատ ուղղի վրա ներկայացվող արժեք է։
                                

Կոտորակներ

Կոտորակները լինում են տասնորդական և սովորական։ Սովորական կոչվում են հարաբերություն ցույց տվող կոտորակները՝ 1/7, 4/9, և այլն։ Իսկ տասնորդական՝ ստորակետով գրվող թվերը՝ 6.8, 3.2, 9.4, և այլն։

Սովորական կոտորակները իրենց հերթին բաժանվում են երկու խմբի՝ կանոնավոր և անկանոն։

Այն կոտորակը, որի համարիչը փոքր է հայտարարից, կոչվում է կանոնավոր կոտորակ։Այն կոտորակը, որի համարիչը մեծ է հայտարարից կամ հավասար է նրան, կոչվում է անկանոն կոտորակ։Կոտորակի գծից վեր գտնվող թիվը կոչվում է կոտորակի համարիչ,իսկ կոտորակի գծից ներքև  գտնվող թիվը կոչվում է կոտորակի հայտարար։

Կոտորակների համարիչը և հայտարարը  միևնույն թվով բազմապատկելիս կոտորակի մեծությունը չի փոխվում։Այս հատկությունը կոչվում է սովորական կոտորակների հատկություն։

Սովորական կոտորակների համեմատումը

Քայլ 1։ Ամենից առաջ նախ պետք է ստուգել կոտորակների նշանները, եթե դրանք տարբեր են, ապա դրական նշանով կոտորակը ավելի մեծ է։ եթե նույն նշանի են, ապա անցնում ենք երկրորդ քայլին։

Քայլ 2։ Երկու նույն նշանի կոտորակներ համեմատելու համար պետք է նրանց բերել ընդհանուր հայտարարի։ Թվերը շատ չմեծացնելու համար պետք է որպես ընդհանուր հայտարար ընտրել այդ կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։ Երբ կոտորակները արդեն բերված են ընդհանուր հայտարարի համեմատում ենք համարիչները՝ մեծ հայտարարով կոտորակը ավելի մեծ է (բացասական կոտորակների դեպքում հակառակը)։

Տասնորդական կոտորակների համեմատումը

Քայլ 1։ Ամենից առաջ նախ պետք է ստուգել կոտորակների նշանները, եթե դրանք տարբեր են, ապա դրական նշանով կոտորակը ավելի մեծ է։ եթե նույն նշանի են, ապա անցնում ենք երկրորդ քայլին։

Քայլ 2։ Երկու նույն նշանի տասնորդական կոտորակներ համեմատելու համար նախ համեմատում ենք նրանց ամբողջ մասերը։ Մեծ ամբողջ մաս ունեցող կոտորակը ավելի մեծ է (բացասական կոտորակների դեպքում հակառակը)։ Եթե դրանք հավասար են, ապա համեմատում ենք նրանց կոտորակային մասերը (ստորակետից աջ)։ Մեծ կոտորակային մաս ունեցող կոտորակը ավելի մեծ է (բացասական կոտորակների դեպքում հակառակը)։

Կլորացումը

Տասնորդական կոտորակը կլորացնելու 3 եղանակ կա՝ վերև, ներքև, համեմատական։

Տասնորդական կոտորակը վերև կլորացնելու համար՝ նրա ամբողջ մասին գումարում ենք 1։

Ներքև կլորացնելու համար՝ ամբողջ մասից հանում ենք 1։

Տասնորդական կոտորակը համեմատական կլորացնելու համար՝ նայում ենք նրա կոտորակային մասին, եթե ամենաբարձր կարգում գրված թիվը փոքր է 5-ից ապա կլորացնում ենք ներքև, եթե մեծ կամ հավասար է 5, ապա կլորացնում ենք վերև։

Բնական թվեր

Բնական թվերը այն թվերն են որոնք առաջացել են բնական ձևով առարկաների քանակը հաշվելիս։Բնական թվերը մաթեմատիկայում նշանակվում են N տառով (Լատիներեն՝ Naturalist բառից)։ Թվանշանի տեղը թվի գրառման մեջ կոչվում է թվի կարգ։
Այն թվերը, որոնց ամենամեծ կարգում գրված է 1, իսկ մյուսներում՝ 0-ներ, կոչվում են կարջային միավորներ։
Ցանկացած թիվ կարելի է ներկայացնել կարգային գումարելիների տեսքով։
Օրինակ՝
5724 = 5·1000+7·100+2·10+4·1

Կարգային միավորները կարելի է նաև գրել 10-ի աստիճանների տեսքով հետևաբար թիվը կարող ենք ներկայացնել նաև 10 թվի բնական ցուցիչով աստիճաննեի գումարի տեքով:
Օրինակ՝
5724 = 5·103+7·102+2·101+4·100

Թվաբանական գործողություններ

Թվաբանական գործողությունները մաթեմատիկայում ընդամենը չորսն են՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում։

Բնական թվերի գումարման հատկությունները.


Գումարման տեղափոխական օրենք`a+b=b+a
Գումարման զուգորդական օրենք`a+(b+c)=(a+b)+c=(a+c)+b
Բնական թվերի բազմապատկման հատկությունները.
Բազմապատկման տեղափոխական օրենք`a×b=b×a
Բազմապատկման զուգորդական օրենք`(a×b)×c=a×(b×c)=b×(a×c)
Բազմապատկման բաշխական օրենք`a×(b+c)=(a×b)+(a×c)


Բազմություններ

Բնական թվերի բազմության մեջ գործողություններից երկուսի՝ գումարման և բազմապատկման արդյունքում ստացվում են նույն բազմությանը պատկանող թվեր։ Ի տարբերություն այդ երկու գործողությունների ,հանման և բաժանման գործողությունները միշտ չէ ,որ պատնսխաններ ունեն բնական թվերի բազմության մեջ։

Բնական թվերի բազմությունը անվերջ է,քանի որ կգտնվի ցանկացած բնական թվից մեծ այլ թիվ։

Ենթաբազմություններ


Բնական թվերի բազմության մեջ են մտնում մի շարք ենթաբազմություններ, օրինակ՝

Զույգ թվեր,որոնք բաժանվում են 2
Կենտ թվեր ,որոնք չեն բաժանվում 1
Պարզ թվեր,որոնք բաժանվում են իրենց և 1ի վրա


Բաժանարար, Բազմապատիկ

Այն բնական թիվը, որին բաժանվում է տվյալ բնական թիվը, կոչվում է վերջինիս բաժանարար: Օրինակ՝ 15:3=5, 3-ը 15-ի բաժանարարն է:
Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար

Ամենամեծ բնական թիվը, որի վրա բաժանվում են տրված թվերից յուրաքանչյուրը, կոչվում է այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար: Օրինակ՝ 12 և 24 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 6-ն է:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար գտնելու եղանակներից է թիվը պարզ թվերի վերլուծելու եղանակը:

Ցանկացած բաղադրյալ թիվ կարելի է վերլուծել պարզ արտադրիչների: Օրինակ՝504-ը ներկայացնենք պարզ արտադրիչների տեսքով: 504-ը բաժանվում է 2-ի, հետևաբար վերջինս դրա պարզ բաղադրիչներից է: Այդպես շարունակելով կստանանք հետևյալը. 504 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7: Եթե նույն արտադրիչից ստանում ենք մի քանի հատ, ապա դրանց արտադրյալը կարող ենք ներկայացնել աստիճանով՝ 504= 23 * 32* 7:

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար պետք է՝

1) Տրված թվերը վերլուծել պարզ արտադրիչների,
2) կազմել նրանց փոքրագույն ցուցիչով ընդհանուր պարզ արտադրիչների արտադրյալը,
3) գտնել ստացված արտադրյալի արժեքը:


Այն բնական թիվը ,որը բաժանվում է տվյալ բնական թվին,կոչվում է վերջինիս բազմապատիկ։

Պարզ թվեր


Միջակայք Պարզ թվերի քանակ


1-50 15
50-100 10
150-200 11 

200-250. 7
250-300. 9 

300-350. 8
350-400. 8
400-450. 9
450-500. 8
500-550. 6
550-600. 8
600-650. 9 

650-700. 7
700-750. 7
750-800. 7
800-850. 7 

850-900. 8 

900-950. 7
950-1000. 7

Միջակայք Պարզ թվերի քանակ


1-1000 168
1001-2000 135
2001-3000 127
3001-4000 120
4001-5000 119
5001-6000 114
6001-7000 117
7001-8000 107
8001-9000 110 

9001-10000 112